Номер 5, страница 114 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Постройте график функции $y = \frac{2}{x} + 1$. Определите це-

лое число, которое не принадлежит области значений функции.

Задача состоит из двух частей: построение графика и нахождение числа, не входящего в область значений функции. Выполним их последовательно.

Постройте график функции $y = \frac{2}{x} + 1$

График функции $y = \frac{2}{x} + 1$ — это гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{2}{x}$ с помощью геометрического преобразования.

1. Сначала рассмотрим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это стандартная гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент 2 положителен. Асимптотами для этой функции служат оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось $Ox$).

2. Исходная функция $y = \frac{2}{x} + 1$ получается из $y = \frac{2}{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) всего графика на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

3. В результате этого сдвига асимптоты также смещаются:

• Вертикальная асимптота не изменяется: $x = 0$.
• Горизонтальная асимптота смещается на 1 единицу вверх и становится прямой $y = 1$.

4. Для более точного построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику.

Построив асимптоты $x=0$ и $y=1$ и отметив вычисленные точки, можно нарисовать две ветви гиперболы.

Определите целое число, которое не принадлежит области значений функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$.

Рассмотрим данную функцию $y = \frac{2}{x} + 1$.

Выражение $\frac{2}{x}$ определено для всех $x \neq 0$. Значение этого дроби никогда не может быть равным нулю, так как ее числитель равен 2. Таким образом, $\frac{2}{x} \neq 0$.

Поскольку $y$ равен сумме выражения $\frac{2}{x}$ и числа 1, то значение $y$ никогда не может быть равно $0+1=1$.

$y \neq 1$

Следовательно, область значений функции $E(y)$ — это все действительные числа, кроме 1. В виде интервалов это записывается как $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Вопрос состоит в том, чтобы найти целое число, которое не принадлежит этой области. Единственное число, не входящее в область значений, — это 1. Число 1 является целым.

Ответ: 1