Номер 10, страница 115 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Основания трапеции равны 5 см и 10 см, диагонали трапеции равны 13 см и 14 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями $a = 5$ см и $b = 10$ см, и диагоналями $d_1 = 13$ см и $d_2 = 14$ см.

Для решения задачи применим метод дополнительного построения. Пусть ABCD — данная трапеция с основаниями $AD = b$ и $BC = a$. Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E.

В полученном четырехугольнике BCED стороны BC и DE параллельны (так как лежат на параллельных прямых BC и AE), а стороны CE и BD параллельны по построению. Следовательно, BCED — это параллелограмм. Из этого следует, что $DE = BC = 5$ см, а $CE = BD = 14$ см.

Таким образом, мы получили треугольник ACE со сторонами: $AC = 13$ см (по условию); $CE = 14$ см (из свойств параллелограмма); $AE = AD + DE = 10 + 5 = 15$ см.

Высота трапеции $h$, опущенная на основание AD, является также высотой треугольника ACE, опущенной на основание AE. Площадь трапеции определяется формулой $S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h$. Площадь треугольника ACE равна $S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2}(b+a)h$. Сравнивая формулы, видим, что $S_{ABCD} = S_{ACE}$. Таким образом, задача сводится к нахождению площади треугольника ACE.

Площадь треугольника ACE найдем по формуле Герона, так как известны все три его стороны. Сначала вычислим полупериметр $p$: $p = \frac{AC + CE + AE}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$: $S_{ACE} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$.

Для удобства вычисления разложим числа под корнем на множители: $S_{ACE} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^2 \cdot 3 \cdot 7)^2}$. $S_{ACE} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 \text{ см}^2$.

Так как площадь трапеции равна площади треугольника ACE, то искомая площадь трапеции равна $84 \text{ см}^2$.

Ответ: $84 \text{ см}^2$.