Номер 7, страница 115 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Решите систему неравенств $ \begin{cases} 3 - x > 0, \\ 11x - 3x^2 + 14 \ge 0 \end{cases} $ и определите количество натуральных решений системы.

Задача состоит из двух частей: решение системы неравенств и определение количества натуральных решений. Выполним их последовательно.

Решите систему неравенств

Данная система неравенств:

$\begin{cases} 3-x > 0, \\ 11x - 3x^2 + 14 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$3 - x > 0$

Перенеся $x$ в правую часть, получим:

$3 > x$, что эквивалентно $x < 3$.

Решением первого неравенства является числовой промежуток $(-\infty, 3)$.

2. Второе неравенство:

$11x - 3x^2 + 14 \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Для удобства решения умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$3x^2 - 11x - 14 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 11x - 14 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 11x - 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше нуля). Следовательно, неравенство $3x^2 - 11x - 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Решением второго неравенства является отрезок $[-1, \frac{14}{3}]$.

Решение системы неравенств — это пересечение решений обоих неравенств:

$x \in (-\infty, 3) \cap [-1, \frac{14}{3}]$

Так как $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$, то $3 < \frac{14}{3}$. Пересечением указанных промежутков является полуинтервал $[-1, 3)$.

Ответ: $x \in [-1, 3)$.

Определите количество натуральных решений системы

Решением системы является промежуток $x \in [-1, 3)$.

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$).

Нам необходимо найти, сколько натуральных чисел содержится в полученном промежутке $[-1, 3)$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -1, 0, 1, 2.

Из них натуральными являются числа 1 и 2.

Таким образом, система имеет два натуральных решения.

Ответ: 2.