Номер 9, страница 115 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Решите уравнение $ \frac{6}{x^2 - 36} + \frac{1}{x^2 - 12x + 36} + \frac{1}{2x + 12} = 0. $

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Разложим их на множители, чтобы найти недопустимые значения x.
Первый знаменатель: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$. Он равен нулю при $x=6$ и $x=-6$.
Второй знаменатель: $x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$. Он равен нулю при $x=6$.
Третий знаменатель: $2x + 12 = 2(x+6)$. Он равен нулю при $x=-6$.
Следовательно, область допустимых значений: $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

2. Приведём уравнение к общему знаменателю.
Исходное уравнение с разложенными на множители знаменателями выглядит так: $$ \frac{6}{(x-6)(x+6)} + \frac{1}{(x-6)^2} + \frac{1}{2(x+6)} = 0 $$

Общий знаменатель для этих дробей: $2(x-6)^2(x+6)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей (это возможно, так как в ОДЗ он не равен нулю).

3. Получим и решим уравнение-следствие.
После умножения на общий знаменатель $2(x-6)^2(x+6)$ получаем: $$ 6 \cdot 2(x-6) + 1 \cdot 2(x+6) + 1 \cdot (x-6)^2 = 0 $$

Раскроем скобки и упростим выражение: $$ 12(x-6) + 2(x+6) + (x^2 - 12x + 36) = 0 $$ $$ 12x - 72 + 2x + 12 + x^2 - 12x + 36 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые: $$ x^2 + (12x + 2x - 12x) + (-72 + 12 + 36) = 0 $$ $$ x^2 + 2x - 24 = 0 $$

4. Найдём корни квадратного уравнения.
Решим уравнение $x^2 + 2x - 24 = 0$. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней равно $-24$, а их сумма равна $-2$. Подбором находим корни: $$ x_1 = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = -6 $$

Также можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 10}{2}$.
$x_1 = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

5. Проверим корни на принадлежность ОДЗ.
Мы установили, что ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq -6$.
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет этому условию.
Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=-6$ знаменатели первой и третьей дробей обращаются в ноль. Следовательно, $x = -6$ является посторонним корнем.

Поскольку корень $x=-6$ является посторонним, единственным решением уравнения является $x=4$.

Ответ: $4$