Номер 6, страница 114 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$, можно воспользоваться известной формулой, которая выводится несколькими способами. Рассмотрим два из них.

1. Геометрический способ

В правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности $R$ как раз равен расстоянию от центра до вершины, то есть составляет $\frac{2}{3}$ от длины медианы (которая в правильном треугольнике равна высоте).

Сначала найдем длину высоты $h$ правильного треугольника. Высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой $a$ и одним из катетов $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

Выразим $h^2$: $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Отсюда высота $h$: $h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем радиус $R$, который составляет $\frac{2}{3}$ высоты: $R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

2. Способ через теорему синусов

Для любого треугольника верна обобщенная теорема синусов: отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности. $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$

В правильном треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, угол $\alpha$, противолежащий стороне $a$, равен $60^\circ$.

Подставим это значение в формулу: $\frac{a}{\sin 60^\circ} = 2R$

Так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{2a}{\sqrt{3}} = 2R$

Разделим обе части на 2, чтобы выразить $R$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$: $R = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$