Номер 10, страница 113 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 8$, $BC = 10$, $AC = 12$ вписана окружность. Касательная $MK$ к окружности пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ так, что $MK$ не параллельна $AB$. Найдите периметр треугольника $CMK$.

Обозначим периметр треугольника $CMK$ как $P_{CMK}$. По определению, периметр равен сумме длин его сторон:

$P_{CMK} = CM + CK + MK$

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $BC$ и $AC$ в точках $T_a$ и $T_b$ соответственно. Прямая $MK$ является касательной к этой же окружности. Обозначим точку касания на отрезке $MK$ как $T$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.

Для точки $M$, лежащей на стороне $BC$, имеем две касательные к окружности: одна по прямой $BC$, другая по прямой $MK$. Следовательно, длины отрезков от точки $M$ до точек касания $T_a$ и $T$ равны:

$MT = MT_a$

Аналогично для точки $K$, лежащей на стороне $AC$:

$KT = KT_b$

Теперь выразим периметр треугольника $CMK$, используя эти равенства. Длину стороны $MK$ можно представить как сумму длин отрезков $MT$ и $TK$:

$MK = MT + TK$

Подставим это в формулу периметра:

$P_{CMK} = CM + CK + MT + TK$

Заменим $MT$ на $MT_a$ и $TK$ на $KT_b$:

$P_{CMK} = CM + CK + MT_a + KT_b$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{CMK} = (CM + MT_a) + (CK + KT_b)$

Точки $C$, $M$, $T_a$ лежат на одной прямой $BC$, причем $M$ находится между $C$ и $T_a$. Таким образом, сумма $CM + MT_a$ равна длине отрезка $CT_a$. Аналогично, точки $C$, $K$, $T_b$ лежат на прямой $AC$, и $CK + KT_b = CT_b$.

Следовательно, периметр треугольника $CMK$ равен:

$P_{CMK} = CT_a + CT_b$

Отрезки $CT_a$ и $CT_b$ — это касательные, проведенные к окружности из одной вершины $C$. Значит, их длины равны: $CT_a = CT_b$.

Длину этих отрезков можно найти, зная стороны треугольника $ABC$. Обозначим $a = BC = 10$, $b = AC = 12$, $c = AB = 8$. Длина отрезка касательной от вершины $C$ до точки касания вычисляется по формуле:

$CT_a = CT_b = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим известные значения сторон:

$CT_a = CT_b = \frac{10 + 12 - 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Теперь найдем периметр треугольника $CMK$:

$P_{CMK} = CT_a + CT_b = 7 + 7 = 14$

Условие, что $MK$ не параллельна $AB$, не влияет на результат, так как выведенная формула для периметра $P_{CMK}$ не зависит от конкретного положения касательной $MK$.

Ответ: 14