Номер 8, страница 112 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $ \frac{7}{2-\sqrt{11}} - \frac{5}{4+\sqrt{11}} $. В ответ запишите число, обратное полученному.

Для того чтобы найти значение выражения $ \frac{7}{2-\sqrt{11}} - \frac{5}{4+\sqrt{11}} $, необходимо сначала упростить каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Это достигается путем умножения числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю.

Упростим первую дробь. Сопряженным выражением к знаменателю $ 2-\sqrt{11} $ является $ 2+\sqrt{11} $.
$ \frac{7}{2-\sqrt{11}} = \frac{7 \cdot (2+\sqrt{11})}{(2-\sqrt{11}) \cdot (2+\sqrt{11})} $
Применяя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ к знаменателю, получаем:
$ \frac{7(2+\sqrt{11})}{2^2 - (\sqrt{11})^2} = \frac{14+7\sqrt{11}}{4-11} = \frac{14+7\sqrt{11}}{-7} = -2 - \sqrt{11} $

Теперь упростим вторую дробь. Сопряженным выражением к знаменателю $ 4+\sqrt{11} $ является $ 4-\sqrt{11} $.
$ \frac{5}{4+\sqrt{11}} = \frac{5 \cdot (4-\sqrt{11})}{(4+\sqrt{11}) \cdot (4-\sqrt{11})} $
Снова применяя формулу разности квадратов, получаем:
$ \frac{5(4-\sqrt{11})}{4^2 - (\sqrt{11})^2} = \frac{20-5\sqrt{11}}{16-11} = \frac{20-5\sqrt{11}}{5} = 4 - \sqrt{11} $

Теперь мы можем подставить упрощенные значения обратно в исходное выражение и выполнить вычитание:
$ (-2 - \sqrt{11}) - (4 - \sqrt{11}) = -2 - \sqrt{11} - 4 + \sqrt{11} $
Сгруппируем подобные слагаемые:
$ (-2 - 4) + (-\sqrt{11} + \sqrt{11}) = -6 + 0 = -6 $

Таким образом, значение выражения равно -6. По условию задачи, в ответ нужно записать число, обратное полученному. Обратным числом к -6 является $ \frac{1}{-6} $, или $ -\frac{1}{6} $.

Ответ: $ -\frac{1}{6} $