Номер 7, страница 112 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Решите уравнение

$1 + \frac{7}{n^2 - n - 12} = - \frac{1}{n + 3}$

7. Для решения данного рационального уравнения необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной $n$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

1. Разложим на множители квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби: $n^2 - n - 12$. Для этого решим уравнение $n^2 - n - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корнями являются числа 4 и -3.

Таким образом, $n^2 - n - 12 = (n - 4)(n + 3)$.

2. Укажем ограничения на переменную $n$, исходя из знаменателей:

• $n^2 - n - 12 \ne 0 \Rightarrow (n - 4)(n + 3) \ne 0$, откуда $n \ne 4$ и $n \ne -3$.
• $n + 3 \ne 0$, откуда $n \ne -3$.

ОДЗ: $n \in (-\infty; -3) \cup (-3; 4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь перепишем исходное уравнение, подставив разложение знаменателя: $1 + \frac{7}{(n - 4)(n + 3)} = -\frac{1}{n+3}$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $1 + \frac{7}{(n - 4)(n + 3)} + \frac{1}{n+3} = 0$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $(n - 4)(n + 3)$: $\frac{1 \cdot (n - 4)(n + 3)}{(n - 4)(n + 3)} + \frac{7}{(n - 4)(n + 3)} + \frac{1 \cdot (n - 4)}{(n + 3)(n - 4)} = 0$

Запишем всё под одной дробной чертой: $\frac{(n - 4)(n + 3) + 7 + (n - 4)}{(n - 4)(n + 3)} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю: $(n - 4)(n + 3) + 7 + n - 4 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $n^2 + 3n - 4n - 12 + 7 + n - 4 = 0$ $n^2 + (3n - 4n + n) + (-12 + 7 - 4) = 0$ $n^2 + 0 \cdot n - 9 = 0$ $n^2 - 9 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение: $n^2 = 9$ $n_1 = 3$ $n_2 = -3$

Сравним полученные корни с ОДЗ ($n \ne 4$ и $n \ne -3$):

• Корень $n_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
• Корень $n_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3