Номер 5, страница 116 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Постройте график функции $y = \frac{4}{x} - 1$. Определите целое число, которое не принадлежит области значений функции.

График функции $y = \frac{4}{x} - 1$ является гиперболой. Его можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Вертикальной асимптотой графика является прямая $x=0$ (ось ординат), так как на ноль делить нельзя. Горизонтальной асимптотой является прямая $y=-1$, так как при неограниченном увеличении или уменьшении $x$, значение дроби $\frac{4}{x}$ стремится к нулю, а значение $y$ стремится к -1. Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему: при $x=1$ $y=3$; при $x=2$ $y=1$; при $x=4$ $y=0$; при $x=-1$ $y=-5$; при $x=-2$ $y=-3$; при $x=-4$ $y=-2$. Ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами $x=0$ и $y=-1$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. Чтобы найти ее, выразим $x$ из уравнения функции. $y = \frac{4}{x} - 1$ $y + 1 = \frac{4}{x}$

Так как $x \neq 0$, то и дробь $\frac{4}{x}$ не может быть равна нулю. Следовательно, $y+1 \neq 0$, что равносильно $y \neq -1$.

Также можно выразить $x$: $x = \frac{4}{y+1}$. Это выражение определено для всех $y$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Знаменатель обращается в ноль при $y+1=0$, то есть при $y=-1$.

Таким образом, область значений функции — это все действительные числа, кроме -1. В виде промежутка это записывается как $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Единственное число, которое не принадлежит области значений функции, это -1. Оно является целым.

Ответ: -1