Номер 9, страница 117 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Решите уравнение $\frac{1}{x^2 - 9} + \frac{1}{9 + x^2 - 6x} = \frac{1}{2x^2 + 6x}$.

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2 - 9} + \frac{1}{9 + x^2 - 6x} = \frac{1}{2x^2 + 6x} $.

В первую очередь разложим знаменатели на множители. Используем формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Также вынесем общий множитель за скобки. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ $9 + x^2 - 6x = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ $2x^2 + 6x = 2x(x + 3)$

Перепишем уравнение в новом виде: $ \frac{1}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{1}{(x - 3)^2} = \frac{1}{2x(x + 3)} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль: $x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$ $x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$ $2x \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$

Таким образом, ОДЗ: $x \ne -3, x \ne 0, x \ne 3$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2x(x - 3)^2(x + 3)$. Для этого умножим обе части уравнения на этот знаменатель, предполагая, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

Дополнительные множители для каждой дроби:

Для $ \frac{1}{(x - 3)(x + 3)} $ — это $2x(x-3)$.

Для $ \frac{1}{(x - 3)^2} $ — это $2x(x+3)$.

Для $ \frac{1}{2x(x + 3)} $ — это $(x-3)^2$.

Получаем уравнение: $ 1 \cdot 2x(x - 3) + 1 \cdot 2x(x + 3) = 1 \cdot (x - 3)^2 $

Раскроем скобки и упростим выражение: $ 2x^2 - 6x + 2x^2 + 6x = x^2 - 6x + 9 $

Приведем подобные слагаемые: $ 4x^2 = x^2 - 6x + 9 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $ 4x^2 - x^2 + 6x - 9 = 0 $ $ 3x^2 + 6x - 9 = 0 $

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения: $ x^2 + 2x - 3 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Корни легко подбираются: $ x_1 = 1 $ $ x_2 = -3 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ne -3, x \ne 0, x \ne 3$).

Корень $x_1 = 1$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ не принадлежит ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $x^2-9$ и $2x^2+6x$ обращаются в ноль. Этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет только один корень. Ответ: 1.