Номер 10, страница 117 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Основания трапеции равны 7 см и 14 см, диагонали трапеции равны 13 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. По условию задачи известны длины оснований: меньшее основание $a = BC = 7$ см и большее основание $b = AD = 14$ см. Также известны длины диагоналей: $d_1 = AC = 13$ см и $d_2 = BD = 20$ см.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем через вершину C прямую, параллельную диагонали BD. Точку пересечения этой прямой с продолжением основания AD обозначим как E.

Рассмотрим получившийся четырехугольник BCED. В нем стороны BC и DE параллельны, так как они лежат на параллельных прямых BC и AE. Стороны BD и CE параллельны по нашему построению. Следовательно, четырехугольник BCED является параллелограммом.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны. Поэтому $DE = BC = 7$ см, и $CE = BD = 20$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ACE. Мы можем определить длины всех его сторон: сторона AC равна 13 см по условию; сторона CE равна 20 см, как мы установили; сторона AE является суммой длин отрезков AD и DE, то есть $AE = AD + DE = 14 + 7 = 21$ см.

Площадь трапеции ABCD вычисляется по формуле $S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h$, где h — высота трапеции. Площадь треугольника ACE равна $S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h$. Высота треугольника ACE, проведенная из вершины C к основанию AE, совпадает с высотой трапеции h. Так как $AE = AD + DE = b + a$, то $S_{ACE} = \frac{1}{2}(a+b)h$. Таким образом, мы видим, что площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE.

Найдем площадь треугольника ACE со сторонами 13 см, 20 см и 21 см, используя формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где p — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр p: $p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь подставим найденные значения в формулу Герона для вычисления площади: $S_{ACE} = \sqrt{27 \cdot (27-13) \cdot (27-20) \cdot (27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6}$.

Для удобства вычислений разложим числа под корнем на множители:
$S_{ACE} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2}$.
Извлекая квадратный корень, получаем: $S_{ACE} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Поскольку площадь трапеции равна площади треугольника ACE, искомая площадь трапеции составляет 126 см$^2$.

Ответ: 126 см$^2$.