Номер 7, страница 119 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите наименьшее целое значение переменной, при котором сумма дробей $\frac{2x-5}{4}$ и $\frac{3-4x}{6}$ неположительна.

7.

Согласно условию, сумма дробей $ \frac{2x-5}{4} $ и $ \frac{3-4x}{6} $ должна быть неположительной, то есть меньше или равна нулю. Составим и решим соответствующее неравенство:

$ \frac{2x-5}{4} + \frac{3-4x}{6} \le 0 $

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 4 и 6 является 12. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2:

$ \frac{3 \cdot (2x-5)}{12} + \frac{2 \cdot (3-4x)}{12} \le 0 $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем сложить числители:

$ \frac{3(2x-5) + 2(3-4x)}{12} \le 0 $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{6x - 15 + 6 - 8x}{12} \le 0 $

$ \frac{-2x - 9}{12} \le 0 $

Так как знаменатель дроби (12) — положительное число, то знак всей дроби зависит только от знака числителя. Следовательно, неравенство равносильно следующему:

$ -2x - 9 \le 0 $

Перенесем 9 в правую часть с противоположным знаком:

$ -2x \le 9 $

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$ x \ge \frac{9}{-2} $

$ x \ge -4.5 $

Мы получили, что значение переменной $x$ должно быть больше или равно -4.5. В задаче требуется найти наименьшее целое значение $x$, удовлетворяющее этому условию. На числовой прямой целые числа, которые больше или равны -4.5, — это -4, -3, -2, и так далее. Наименьшим среди них является -4.

Ответ: -4