Номер 10, страница 119 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Решите систему уравнений

$\begin{cases} xy - x - y = 29, \\ x^2 + y^2 - x - y = 72. \end{cases}$

Данная система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Для ее решения введем новые переменные: пусть $S = x + y$ и $P = xy$.

Перепишем исходную систему уравнений в терминах $S$ и $P$.

Первое уравнение $xy - x - y = 29$ можно записать как $xy - (x+y) = 29$, что дает нам $P - S = 29$.

Второе уравнение $x^2 + y^2 - x - y = 72$ можно записать как $(x^2+y^2) - (x+y) = 72$. Используя тождество $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = S^2 - 2P$, получаем уравнение $S^2 - 2P - S = 72$.

Таким образом, мы получили систему уравнений относительно $S$ и $P$:

$\begin{cases} P - S = 29 \\ S^2 - 2P - S = 72 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $P$: $P = S + 29$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$S^2 - 2(S + 29) - S = 72$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$S^2 - 2S - 58 - S = 72$

$S^2 - 3S - 130 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $S$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529 = 23^2$

Найдем корни уравнения:

$S_1 = \frac{-(-3) + 23}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 23}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$S_2 = \frac{-(-3) - 23}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 23}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Теперь для каждого найденного значения $S$ найдем соответствующее значение $P$ и затем пары $(x, y)$.

Рассмотрим первый случай: $S = 13$.

$P = S + 29 = 13 + 29 = 42$.

Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$ (по теореме Виета).

$t^2 - 13t + 42 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: $t_1 = 6$, $t_2 = 7$.

Это дает нам две пары решений: $(6, 7)$ и $(7, 6)$.

Рассмотрим второй случай: $S = -10$.

$P = S + 29 = -10 + 29 = 19$.

Составим и решим соответствующее квадратное уравнение для $t$:

$t^2 - (-10)t + 19 = 0$

$t^2 + 10t + 19 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 100 - 76 = 24$

$\sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-10 + 2\sqrt{6}}{2} = -5 + \sqrt{6}$

$t_2 = \frac{-10 - 2\sqrt{6}}{2} = -5 - \sqrt{6}$

Это дает нам еще две пары решений: $(-5 + \sqrt{6}, -5 - \sqrt{6})$ и $(-5 - \sqrt{6}, -5 + \sqrt{6})$.

Ответ: $(6, 7)$, $(7, 6)$, $(-5 + \sqrt{6}, -5 - \sqrt{6})$, $(-5 - \sqrt{6}, -5 + \sqrt{6})$.