Номер 7, страница 121 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите наибольшее целое значение переменной, при котором сумма дробей $\frac{2x-1}{5}$ и $\frac{3-4x}{7}$ неотрицательна.

Согласно условию, сумма дробей должна быть неотрицательной, то есть больше или равной нулю. Запишем это в виде неравенства:

$ \frac{2x-1}{5} + \frac{3-4x}{7} \ge 0 $

Чтобы решить неравенство, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 7 равен 35. Умножим обе части неравенства на 35 (так как 35 — положительное число, знак неравенства не изменится):

$ 35 \cdot \frac{2x-1}{5} + 35 \cdot \frac{3-4x}{7} \ge 35 \cdot 0 $

$ 7(2x-1) + 5(3-4x) \ge 0 $

Теперь раскроем скобки в левой части неравенства:

$ 14x - 7 + 15 - 20x \ge 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (14x - 20x) + (-7 + 15) \ge 0 $

$ -6x + 8 \ge 0 $

Перенесем 8 в правую часть, изменив знак:

$ -6x \ge -8 $

Разделим обе части неравенства на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$ x \le \frac{-8}{-6} $

$ x \le \frac{4}{3} $

Таким образом, переменная $x$ должна быть меньше или равна $ \frac{4}{3} $. Чтобы найти наибольшее целое значение, представим $ \frac{4}{3} $ в виде смешанного числа: $ 1\frac{1}{3} $.

Неравенство принимает вид $ x \le 1\frac{1}{3} $.

Целыми числами, удовлетворяющими этому условию, являются ..., -1, 0, 1. Наибольшее из них — 1.

Ответ: 1