Номер 9, страница 121 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята некоторая точка $M$. $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$. Площади треугольников $MCK$ и $DCK$ равны соответственно $4 \text{ см}^2$ и $6 \text{ см}^2$. Найдите площадь параллелограмма.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка $M$ лежит на стороне $BC$, то и отрезок $MC$ параллелен стороне $AD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MCK$ и $\triangle ADK$. Они подобны по двум углам:

1. $\angle MCK = \angle DAK$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).

2. $\angle MKC = \angle DKA$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle MCK \sim \triangle ADK$.

Пусть коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон $\frac{CK}{AK}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$ \frac{S_{MCK}}{S_{ADK}} = \left(\frac{CK}{AK}\right)^2 = k^2 $

Нам дана площадь $S_{MCK} = 4 \text{ см}^2$. Отсюда мы можем выразить площадь $\triangle ADK$:

$ S_{ADK} = \frac{S_{MCK}}{k^2} = \frac{4}{k^2} $

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle DCK$ и $\triangle ADK$. У них общая вершина $D$, а их основания $CK$ и $AK$ лежат на одной прямой $AC$. Отношение площадей таких треугольников равно отношению их оснований:

$ \frac{S_{DCK}}{S_{ADK}} = \frac{CK}{AK} $

По определению коэффициента подобия $k = \frac{CK}{AK}$ и по условию $S_{DCK} = 6 \text{ см}^2$, получаем:

$ \frac{6}{S_{ADK}} = k $

Отсюда $S_{ADK} = \frac{6}{k}$.

Теперь у нас есть два выражения для площади $S_{ADK}$. Приравняем их, чтобы найти коэффициент подобия $k$:

$ \frac{4}{k^2} = \frac{6}{k} $

Поскольку площади треугольников не равны нулю, коэффициент подобия $k$ также не может быть равен нулю. Умножим обе части уравнения на $k^2$:

$ 4k = 6k^2 \implies 4 = 6k $

$ k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Теперь, зная $k$, найдем площадь треугольника $\triangle ADK$:

$ S_{ADK} = \frac{6}{k} = \frac{6}{2/3} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \text{ см}^2 $

Площадь треугольника $\triangle ACD$ равна сумме площадей треугольников $\triangle ADK$ и $\triangle DCK$:

$ S_{ACD} = S_{ADK} + S_{DCK} = 9 + 6 = 15 \text{ см}^2 $

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих (равных по площади) треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$. Следовательно, площадь всего параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $\triangle ACD$:

$ S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ACD} = 2 \cdot 15 = 30 \text{ см}^2 $

Ответ: $30 \text{ см}^2$.