Номер 10, страница 121 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Решите систему уравнений

$\begin{cases} xy - x - y = 5, \\ x^2 + y^2 - x - y = 18. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - x - y = 5, \\ x^2 + y^2 - x - y = 18. \end{cases} $$

Эта система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Для ее решения удобно использовать замену переменных, основанную на элементарных симметрических многочленах.

Введем новые переменные: $u = x + y$ и $v = xy$.

Преобразуем первое уравнение системы, сгруппировав слагаемые:

$$ xy - (x + y) = 5 $$

В новых переменных уравнение примет вид:

$$ v - u = 5 $$

Преобразуем второе уравнение. Для этого выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$, используя формулу квадрата суммы:

$$ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v $$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$$ (x^2 + y^2) - (x + y) = 18 $$ $$ (u^2 - 2v) - u = 18 $$

Таким образом, мы получили новую систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} v - u = 5, \\ u^2 - 2v - u = 18. \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $v$ через $u$:

$$ v = u + 5 $$

Подставим это выражение для $v$ во второе уравнение системы:

$$ u^2 - 2(u + 5) - u = 18 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ u^2 - 2u - 10 - u = 18 $$ $$ u^2 - 3u - 28 = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение относительно $u$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-28$. Корнями являются числа $7$ и $-4$.

$$ u_1 = 7, \quad u_2 = -4 $$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $u$.

Случай 1: $u = 7$.

Находим соответствующее значение $v$:

$$ v = u + 5 = 7 + 5 = 12 $$

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$$ \begin{cases} x + y = 7 \\ xy = 12 \end{cases} $$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Это дает нам две пары решений для $(x, y)$: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Случай 2: $u = -4$.

Находим соответствующее значение $v$:

$$ v = u + 5 = -4 + 5 = 1 $$

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$$ \begin{cases} x + y = -4 \\ xy = 1 \end{cases} $$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-4)t + 1 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 1 = 0$.

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 $$

Корни уравнения равны:

$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3} $$

Таким образом, $t_1 = -2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = -2 - \sqrt{3}$.

Это дает нам еще две пары решений для $(x, y)$: $(-2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3})$ и $(-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3})$.

В результате мы нашли все решения исходной системы.

Ответ: $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(-2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3})$, $(-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3})$.