Номер 8, страница 121 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Упростите выражение

$\left(\frac{18}{5-\sqrt{7}} - \frac{44}{7-\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\right)^2$

8. Упростите выражение

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно выполнить действия в скобках. Сначала избавимся от иррациональности в знаменателях каждой дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение.

1. Упростим первую дробь $ \frac{18}{5-\sqrt{7}} $. Сопряженным для знаменателя $ 5-\sqrt{7} $ является выражение $ 5+\sqrt{7} $.

$ \frac{18}{5-\sqrt{7}} = \frac{18 \cdot (5+\sqrt{7})}{(5-\sqrt{7}) \cdot (5+\sqrt{7})} $

Применяя в знаменателе формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $, получаем:

$ \frac{18(5+\sqrt{7})}{5^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{18(5+\sqrt{7})}{25 - 7} = \frac{18(5+\sqrt{7})}{18} = 5+\sqrt{7} $

2. Упростим вторую дробь $ \frac{44}{7-\sqrt{5}} $. Сопряженным для знаменателя $ 7-\sqrt{5} $ является выражение $ 7+\sqrt{5} $.

$ \frac{44}{7-\sqrt{5}} = \frac{44 \cdot (7+\sqrt{5})}{(7-\sqrt{5}) \cdot (7+\sqrt{5})} = \frac{44(7+\sqrt{5})}{7^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{44(7+\sqrt{5})}{49 - 5} = \frac{44(7+\sqrt{5})}{44} = 7+\sqrt{5} $

3. Упростим третью дробь $ \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} $. Сопряженным для знаменателя $ \sqrt{7}+\sqrt{5} $ является выражение $ \sqrt{7}-\sqrt{5} $.

$ \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2} = \sqrt{7}-\sqrt{5} $

Теперь подставим полученные упрощенные выражения обратно в исходное выражение:

$ \left( (5+\sqrt{7}) - (7+\sqrt{5}) - (\sqrt{7}-\sqrt{5}) \right)^2 $

Раскроем скобки внутри и приведем подобные слагаемые:

$ (5+\sqrt{7} - 7 - \sqrt{5} - \sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = ( (5-7) + (\sqrt{7}-\sqrt{7}) + (-\sqrt{5}+\sqrt{5}) )^2 $

$ (-2 + 0 + 0)^2 = (-2)^2 $

Возведем в квадрат полученное число:

$ (-2)^2 = 4 $

Ответ: 4