Номер 9, страница 119 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята некоторая точка $M$. $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$.

Площади треугольников $MCK$ и $DCK$ равны соответственно $9 \text{ см}^2$ и $15 \text{ см}^2$. Найдите площадь параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $\triangle MCK$ и $\triangle DCK$. У них есть общая высота, проведенная из вершины $C$ к прямой $DM$. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований.

$\frac{S_{DCK}}{S_{MCK}} = \frac{DK}{MK}$

Подставим известные значения площадей:

$\frac{15}{9} = \frac{DK}{MK}$

$\frac{DK}{MK} = \frac{5}{3}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle CKM$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Так как точка $M$ лежит на стороне $BC$, то $AD \parallel MC$.

Следовательно:

• $\angle KAD = \angle KCM$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle KDA = \angle KMC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DM$).

Таким образом, треугольник $\triangle AKD$ подобен треугольнику $\triangle CKM$ по двум углам ($\triangle AKD \sim \triangle CKM$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$:

$k = \frac{AK}{CK} = \frac{DK}{MK} = \frac{AD}{CM}$

Мы уже нашли, что $\frac{DK}{MK} = \frac{5}{3}$, значит коэффициент подобия $k = \frac{5}{3}$. Отсюда получаем, что $\frac{AK}{CK} = \frac{5}{3}$.

Далее рассмотрим треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$. У них общая высота, проведенная из вершины $D$ к основаниям $AK$ и $CK$, которые лежат на одной прямой $AC$. Значит, отношение их площадей равно отношению оснований:

$\frac{S_{ADK}}{S_{CDK}} = \frac{AK}{CK}$

Подставим известные значения:

$\frac{S_{ADK}}{15} = \frac{5}{3}$

$S_{ADK} = 15 \cdot \frac{5}{3} = 5 \cdot 5 = 25 \text{ см}^2$

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$. Площадь треугольника $\triangle ADC$ равна сумме площадей треугольников $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$.

$S_{ADC} = S_{ADK} + S_{CDK} = 25 + 15 = 40 \text{ см}^2$

Площадь параллелограмма $ABCD$ вдвое больше площади треугольника $\triangle ADC$:

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ADC} = 2 \cdot 40 = 80 \text{ см}^2$

Ответ: $80 \text{ см}^2$.