Номер 8, страница 119 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Упростите выражение

$\left(\frac{9}{4-\sqrt{7}} - \frac{33}{6-\sqrt{3}} - \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\right)^2$

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно избавиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби, находящейся в скобках. Это делается путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение к знаменателю.

1. Упростим первую дробь: $\frac{9}{4-\sqrt{7}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(4+\sqrt{7})$: $$ \frac{9}{4-\sqrt{7}} = \frac{9 \cdot (4+\sqrt{7})}{(4-\sqrt{7}) \cdot (4+\sqrt{7})} $$

Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ в знаменателе, получаем: $$ \frac{9(4+\sqrt{7})}{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{9(4+\sqrt{7})}{16 - 7} = \frac{9(4+\sqrt{7})}{9} = 4+\sqrt{7} $$

2. Упростим вторую дробь: $\frac{33}{6-\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(6+\sqrt{3})$: $$ \frac{33}{6-\sqrt{3}} = \frac{33 \cdot (6+\sqrt{3})}{(6-\sqrt{3}) \cdot (6+\sqrt{3})} = \frac{33(6+\sqrt{3})}{6^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{33(6+\sqrt{3})}{36 - 3} = \frac{33(6+\sqrt{3})}{33} = 6+\sqrt{3} $$

3. Упростим третью дробь: $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{7}-\sqrt{3})$: $$ \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3} $$

4. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное выражение:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

5. Возведем полученное число в квадрат:

Ответ: 4