Номер 7, страница 117 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Решите систему неравенств

$\begin{cases} 2 - x > 0, \\ 5x - 2x^2 + 7 \ge 0 \end{cases}$ и определите количество натуральных решений системы.

Решение системы неравенств

Заданная система неравенств: $ \begin{cases} 2 - x > 0 \\ 5x - 2x^2 + 7 \ge 0 \end{cases} $

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:
$2 - x > 0$
Переносим $x$ в правую часть:
$2 > x$, или $x < 2$.
Решением первого неравенства является интервал $x \in (-\infty; 2)$.

2. Решим второе неравенство:
$5x - 2x^2 + 7 \ge 0$
Умножим неравенство на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$2x^2 - 5x - 7 \le 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 7 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$.
Графиком функции $y = 2x^2 - 5x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$). Следовательно, неравенство $2x^2 - 5x - 7 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Решением второго неравенства является отрезок $x \in [-1; 3.5]$.

3. Найдем пересечение решений.
Решением системы является пересечение множеств $x \in (-\infty; 2)$ и $x \in [-1; 3.5]$.
Пересекая эти два множества, получаем полуинтервал $[-1; 2)$.

Ответ: $x \in [-1; 2)$.

Определение количества натуральных решений системы

Решением системы неравенств является полуинтервал $x \in [-1; 2)$.
Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$).
Необходимо найти, какие натуральные числа содержатся в полуинтервале $[-1; 2)$.
Этот полуинтервал содержит числа $x$, удовлетворяющие условию $-1 \le x < 2$.
Целые числа, входящие в этот промежуток: $-1, 0, 1$.
Из этих чисел только $1$ является натуральным.
Следовательно, система имеет одно натуральное решение.

Ответ: 1.