Номер 6, страница 116 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. В правильный треугольник со стороной $a$ вписана окружность. Найдите радиус окружности.

Для нахождения радиуса $r$ окружности, вписанной в правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$, воспользуемся свойством, что центр вписанной окружности в правильном треугольнике совпадает с точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Проведем в треугольнике высоту $h$. Эта высота также является и медианой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой $h$, стороной $a$ (в качестве гипотенузы) и половиной основания $\frac{a}{2}$ (в качестве второго катета). По теореме Пифагора найдем длину высоты:
$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$
$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Точка пересечения медиан (которая в данном случае является центром вписанной окружности) делит каждую медиану (и высоту) в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра до стороны, что соответствует меньшему отрезку высоты. Таким образом, радиус равен одной трети от всей длины высоты.
$r = \frac{1}{3}h$.

Подставим найденное значение высоты $h$ в формулу для радиуса:
$r = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.