Номер 8, страница 110 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $ \frac{9}{2-\sqrt{13}} - \frac{12}{5+\sqrt{13}} $. В ответ запишите число, обратное полученному.

Найдите значение выражения
Чтобы найти значение выражения $ \frac{9}{2-\sqrt{13}} - \frac{12}{5+\sqrt{13}} $, необходимо сначала упростить каждую дробь, избавившись от иррациональности в знаменателе. Это делается путем умножения числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю.
1. Упростим первую дробь $ \frac{9}{2-\sqrt{13}} $. Сопряженным к знаменателю $ 2-\sqrt{13} $ является выражение $ 2+\sqrt{13} $. Используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.
$ \frac{9}{2-\sqrt{13}} = \frac{9 \cdot (2+\sqrt{13})}{(2-\sqrt{13})(2+\sqrt{13})} = \frac{9(2+\sqrt{13})}{2^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{9(2+\sqrt{13})}{4-13} = \frac{9(2+\sqrt{13})}{-9} $
Сокращаем на 9:
$ -(2+\sqrt{13}) = -2-\sqrt{13} $
2. Упростим вторую дробь $ \frac{12}{5+\sqrt{13}} $. Сопряженным к знаменателю $ 5+\sqrt{13} $ является выражение $ 5-\sqrt{13} $.
$ \frac{12}{5+\sqrt{13}} = \frac{12 \cdot (5-\sqrt{13})}{(5+\sqrt{13})(5-\sqrt{13})} = \frac{12(5-\sqrt{13})}{5^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{12(5-\sqrt{13})}{25-13} = \frac{12(5-\sqrt{13})}{12} $
Сокращаем на 12:
$ 5-\sqrt{13} $
3. Теперь выполним вычитание полученных выражений:
$ (-2-\sqrt{13}) - (5-\sqrt{13}) = -2 - \sqrt{13} - 5 + \sqrt{13} $
Приводим подобные слагаемые:
$ (-2-5) + (-\sqrt{13}+\sqrt{13}) = -7 $
Таким образом, значение выражения равно -7.

В ответ запишите число, обратное полученному
По условию, необходимо найти число, обратное полученному значению, то есть -7. Числом, обратным к $a$, является $ \frac{1}{a} $.
Следовательно, число, обратное -7, это $ \frac{1}{-7} $ или $ -\frac{1}{7} $.
Ответ: $ -\frac{1}{7} $