Номер 9, страница 109 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Определите количество целых решений неравенства

$\frac{2x^2 + 3x - 2}{(2 - x)^2 (9 - x^2)} > 0.$

Для решения данного рационального неравенства $\frac{2x^2 + 3x - 2}{(2-x)^2(9-x^2)} > 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

Найдем нули числителя, решив квадратное уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{4} = 0.5$.

Найдем нули знаменателя, приравняв его к нулю: $(2-x)^2(9-x^2) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни: $x=2$ (корень кратности 2, так как скобка в квадрате), $x=3$ и $x=-3$ (корни кратности 1). Эти точки являются точками разрыва и не входят в решение неравенства.

Нанесем найденные точки на числовую ось в порядке возрастания: $-3, -2, 0.5, 2, 3$. Эти точки разбивают ось на интервалы. Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(3, +\infty)$, например, $x=4$. Подставим ее в исходное выражение: $\frac{2(4)^2 + 3(4) - 2}{(2-4)^2(9-4^2)} = \frac{32+12-2}{(-2)^2(9-16)} = \frac{42}{4(-7)} < 0$.

Таким образом, на интервале $(3, +\infty)$ выражение отрицательно. Двигаясь справа налево по числовой оси, будем менять знак при переходе через корни нечетной кратности ($-3, -2, 0.5, 3$) и сохранять знак при переходе через корень четной кратности ($2$). Получаем следующую последовательность знаков на интервалах: $(-\infty, -3): «-»$; $(-3, -2): «+»$; $(-2, 0.5): «-»$; $(0.5, 2): «+»$; $(2, 3): «+»$; $(3, +\infty): «-»$.

Согласно условию, выражение должно быть строго больше нуля ($>0$), поэтому нас интересуют интервалы, где стоит знак «плюс». Решением неравенства является объединение интервалов: $x \in (-3, -2) \cup (0.5, 2) \cup (2, 3)$.

Теперь определим количество целых решений. Для этого найдем, какие целые числа попадают в полученные промежутки:

• В интервале $(-3, -2)$ нет целых чисел.
• В интервале $(0.5, 2)$ есть одно целое число: $1$.
• В интервале $(2, 3)$ нет целых чисел.

Следовательно, данное неравенство имеет только одно целое решение.

Ответ: 1