Номер 5, страница 108 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. Сократите дробь $\frac{a-9}{a-6\sqrt{a}+9}$.

Для того чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. При этом нужно учесть область допустимых значений (ОДЗ) переменной a.

Исходное выражение: $\frac{a-9}{a-6\sqrt{a}+9}$.

Поскольку в выражении присутствует квадратный корень $\sqrt{a}$, область допустимых значений для переменной a — это все неотрицательные числа, то есть $a \ge 0$.

Разложим числитель дроби $a-9$ на множители. Так как $a \ge 0$, можно представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$. Тогда выражение $a-9$ является разностью квадратов:

$a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.

Теперь рассмотрим знаменатель $a - 6\sqrt{a} + 9$. Это выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = 3$.

$a - 6\sqrt{a} + 9 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{a} - 3)^2$.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $(\sqrt{a} - 3)^2 \neq 0$, что эквивалентно $\sqrt{a} - 3 \neq 0$, или $\sqrt{a} \neq 3$. Возведя обе части в квадрат, получаем $a \neq 9$.

Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{a-9}{a-6\sqrt{a}+9} = \frac{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}-3)^2}$.

При условии, что $a \neq 9$, множитель $(\sqrt{a}-3)$ не равен нулю, и мы можем сократить дробь на него:

$\frac{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}-3)} = \frac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}-3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}-3}$.