Номер 6, страница 108 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит сторону $AD$ на отрезки $AH = 5$ см и $HD = 8$ см. Найдите площадь ромба.

По условию задачи, $ABCD$ — ромб, а $BH$ — его высота, проведенная к стороне $AD$. Высота делит сторону на отрезки $AH = 5$ см и $HD = 8$ см.

Сначала найдем длину стороны ромба. Сторона $AD$ состоит из двух отрезков $AH$ и $HD$. $AD = AH + HD = 5 \text{ см} + 8 \text{ см} = 13 \text{ см}$.

Так как в ромбе все стороны равны, то длина каждой стороны, включая $AB$, равна $13$ см. $AB = BC = CD = AD = 13 \text{ см}$.

Далее найдем высоту ромба $BH$. Рассмотрим треугольник $ABH$. Поскольку $BH$ является высотой, опущенной на сторону $AD$, то угол $\angle BHA$ — прямой ($90^\circ$). Таким образом, треугольник $ABH$ — прямоугольный.

В этом треугольнике: - $AB$ — гипотенуза ($AB = 13$ см). - $AH$ — катет ($AH = 5$ см). - $BH$ — второй катет, который и является высотой ромба.

Применим теорему Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$.

Выразим из формулы $BH$: $BH^2 = AB^2 - AH^2$

Подставим известные значения: $BH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $BH = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Теперь, зная сторону ромба и высоту, мы можем найти его площадь. Площадь ромба ($S$) вычисляется по формуле произведения основания на высоту: $S = AD \cdot BH$

Подставим найденные значения стороны и высоты: $S = 13 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 156 \text{ см}^2$.

Ответ: $156 \text{ см}^2$.