Номер 9, страница 107 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Определите количество целых решений неравенства

$\frac{3x^2 + 10x + 3}{(3-x)^2 (4-x^2)} > 0.$

Для решения данного неравенства применим метод интервалов. Для этого сначала найдем нули числителя и знаменателя дроби.

Исходное неравенство:

$$ \frac{3x^2 + 10x + 3}{(3-x)^2(4-x^2)} > 0 $$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $3x^2 + 10x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$ и $x_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Следовательно, числитель можно разложить на множители: $3x^2 + 10x + 3 = 3(x+3)(x+\frac{1}{3})$.

Найдем корни знаменателя, приравняв его к нулю: $(3-x)^2(4-x^2) = 0$.
Корни знаменателя определяют область допустимых значений (ОДЗ), поэтому они не будут входить в решение неравенства.
$3-x=0 \implies x=3$ (корень кратности 2).
$4-x^2=0 \implies x^2=4 \implies x=2$ и $x=-2$.
Разложим знаменатель на множители: $(3-x)^2(4-x^2) = (3-x)^2(2-x)(2+x)$.

Теперь перепишем исходное неравенство, подставив разложения на множители:

$$ \frac{3(x+3)(x+1/3)}{(3-x)^2(2-x)(2+x)} > 0 $$

Преобразуем множители в знаменателе для удобства: $(3-x)^2 = (x-3)^2$ и $(2-x) = -(x-2)$.

$$ \frac{3(x+3)(x+1/3)}{(x-3)^2 \cdot (-(x-2)) \cdot (x+2)} > 0 $$

$$ \frac{3(x+3)(x+1/3)}{-(x-3)^2(x-2)(x+2)} > 0 $$

Умножим обе части неравенства на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный:

$$ \frac{3(x+3)(x+1/3)}{(x-3)^2(x-2)(x+2)} < 0 $$

Критическими точками являются нули числителя ($x=-3, x=-1/3$) и нули знаменателя ($x=-2, x=2, x=3$). Отметим эти точки на числовой оси. Так как множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен, знак выражения не меняется при переходе через точку $x=3$.

Определим знаки левой части неравенства на полученных интервалах:

• Интервал $(3, +\infty)$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)(+)} > 0$
• Интервал $(2, 3)$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)(+)} > 0$
• Интервал $(-1/3, 2)$: $\frac{(+)(+)}{(+)(-)(+)} < 0$
• Интервал $(-2, -1/3)$: $\frac{(+)(-)}{(+)(-)(+)} > 0$
• Интервал $(-3, -2)$: $\frac{(-)(-)}{(+)(-)(-)} < 0$
• Интервал $(-\infty, -3)$: $\frac{(-)(-)}{(+)(-)(+)} > 0$

Решением неравенства является объединение интервалов, на которых выражение отрицательно:

$$ x \in (-3, -2) \cup (-1/3, 2) $$

Теперь найдем количество целых чисел, принадлежащих этим интервалам.

• В интервале $(-3, -2)$ целых чисел нет.
• В интервале $(-1/3, 2)$ содержатся целые числа 0 и 1.

Таким образом, неравенство имеет два целых решения: 0 и 1.

Ответ: 2