Номер 3, страница 104 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны;

б) $ctg 45^{\circ} = 1$;

в) если угол между прямыми равен $90^{\circ}$, то они перпендикулярны;

г) медиана любого треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена?

а) По определению, два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого. Это означает, что если треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$, то существует число $k > 0$ (коэффициент подобия) такое, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$. Следовательно, утверждение о том, что у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны, является верным.
Ответ: верно.

б) Котангенс угла определяется как отношение прилежащего катета к противолежащему в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого катеты равны $a$. Острые углы в таком треугольнике равны $45^\circ$. Тогда котангенс угла $45^\circ$ равен отношению длин катетов: $ctg(45^\circ) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{a}{a} = 1$. Также можно использовать формулу $ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Поскольку $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $ctg(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$. Следовательно, данное утверждение верно.
Ответ: верно.

в) По определению, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямой угол составляет $90^\circ$. Таким образом, если угол между прямыми равен $90^\circ$, то они перпендикулярны. Это утверждение является определением перпендикулярных прямых.
Ответ: верно.

г) Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медиана является перпендикуляром к стороне (то есть, является высотой) только в частных случаях. Например, в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой. Однако в произвольном (например, разностороннем) треугольнике медиана, как правило, не перпендикулярна стороне, к которой она проведена. Таким образом, утверждение, что медиана любого треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена, является неверным.
Ответ: неверно.

Вопрос требует найти неверное утверждение. Проанализировав все варианты, мы установили, что утверждения а), б) и в) верны, а утверждение г) — неверно.

Ответ: г)