Номер 2, страница 104 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

2. Уравнение окружности с центром в точке (0; 4) и радиусом $\sqrt{5}$ имеет вид:

a) $x^2 + (y + 4)^2 = 5$;

б) $x^2 + (y - 4)^2 = 5$;

в) $x^2 - (y + 4)^2 = 5$;

г) $x^2 - (y - 4)^2 = 5$;

д) $x^2 + (y - 4)^2 = \sqrt{5}$.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Согласно условию задачи, центр окружности находится в точке $(0; 4)$, а её радиус $R = \sqrt{5}$.

Подставим значения координат центра $x_0 = 0$ и $y_0 = 4$, а также значение радиуса $R = \sqrt{5}$ в уравнение:

$(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{5})^2$

После упрощения получаем искомое уравнение окружности:

$x^2 + (y - 4)^2 = 5$

Теперь сравним полученное уравнение с предложенными вариантами:

а) $x^2 + (y + 4)^2 = 5$

Это уравнение описывает окружность с центром в точке $(0; -4)$ и радиусом $\sqrt{5}$. Этот вариант не соответствует условию задачи.

б) $x^2 + (y - 4)^2 = 5$

Это уравнение описывает окружность с центром в точке $(0; 4)$ и радиусом $\sqrt{5}$. Этот вариант полностью соответствует условиям задачи.

в) $x^2 - (y + 4)^2 = 5$

Это уравнение является уравнением гиперболы, а не окружности, так как перед скобкой $(y+4)^2$ стоит знак «минус».

г) $x^2 - (y - 4)^2 = 5$

Это также уравнение гиперболы, а не окружности.

д) $x^2 + (y - 4)^2 = \sqrt{5}$

Это уравнение описывает окружность с центром в точке $(0; 4)$, однако квадрат её радиуса $R^2 = \sqrt{5}$, что означает, что сам радиус $R = \sqrt{\sqrt{5}} = \sqrt[4]{5}$. Это не соответствует заданному радиусу $\sqrt{5}$.

Таким образом, единственным верным уравнением является вариант б).

Ответ: б)