Номер 5, страница 102 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. $ABCD$ — параллелограмм, биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, отрезки $BK$ и $KC$ равны соответственно 6 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Поскольку фигура $ABCD$ является параллелограммом, ее противоположные стороны попарно параллельны. В частности, сторона $BC$ параллельна стороне $AD$ ($BC \parallel AD$).

Найдем длину стороны $BC$. Согласно условию, точка $K$ делит сторону $BC$ на два отрезка $BK$ и $KC$. Следовательно, длина всей стороны $BC$ равна их сумме:
$BC = BK + KC = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AK$. Углы $\angle KAD$ и $\angle BKA$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle KAD = \angle BKA$.

В условии сказано, что $AK$ — биссектриса угла $A$. Это означает, что она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD$.

Сопоставив два предыдущих равенства ($\angle KAD = \angle BKA$ и $\angle BAK = \angle KAD$), мы можем заключить, что $\angle BAK = \angle BKA$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Поскольку два его угла ($\angle BAK$ и $\angle BKA$) равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AB = BK$.

Так как по условию $BK = 6$ см, то и сторона $AB$ также равна 6 см.

Мы нашли длины двух смежных сторон параллелограмма: $AB = 6 \text{ см}$ и $BC = 10 \text{ см}$.

Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон. Подставим наши значения:
$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32 \text{ см}$.

Ответ: 32 см.