Номер 8, страница 101 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите сумму целых решений системы неравенств

$\begin{cases} 9 - 2x < 0, \\ x^2 - 8x < -7. \end{cases}$

Для того чтобы найти сумму целых решений системы, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства:

Рассмотрим первое неравенство системы:

$9 - 2x < 0$

Перенесем 9 в правую часть неравенства:

$-2x < -9$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-9}{-2}$

$x > 4.5$

Решением первого неравенства является интервал $(4.5; +\infty)$.

Решение второго неравенства:

Рассмотрим второе неравенство системы:

$x^2 - 8x < -7$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратичного неравенства:

$x^2 - 8x + 7 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции меньше нуля (то есть, график находится ниже оси Ox) на интервале между корнями.

Следовательно, решением второго неравенства является интервал $(1; 7)$.

Нахождение решения системы и суммы целых решений:

Общим решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств, то есть пересечение интервалов $(4.5; +\infty)$ и $(1; 7)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(4.5; 7)$.

Теперь найдем все целые числа, которые принадлежат этому интервалу. Это числа, которые строго больше 4.5 и строго меньше 7. Такими числами являются 5 и 6.

Сумма этих целых решений равна:

$5 + 6 = 11$

Ответ: 11