Номер 7, страница 101 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. График функции $f(x) = a(x - m)^2 + n$ изображен на рисунке. Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$. Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.

Найдите a, m и n
Функция задана в виде $f(x) = a(x - m)^2 + n$. Это вершинная форма записи для параболы, где $(m, n)$ — это координаты её вершины.
На графике находим самую нижнюю точку параболы (вершину). Её координаты равны $(1, 2)$.
Отсюда следует, что $m = 1$ и $n = 2$.
Теперь уравнение функции имеет вид $f(x) = a(x - 1)^2 + 2$.
Чтобы найти коэффициент $a$, выберем на графике любую точку с известными целочисленными координатами, например, точку пересечения с осью ординат $(0, 4)$.
Подставим значения $x = 0$ и $f(x) = 4$ в уравнение:
$4 = a(0 - 1)^2 + 2$
$4 = a(-1)^2 + 2$
$4 = a \cdot 1 + 2$
$4 = a + 2$
$a = 4 - 2$
$a = 2$
Таким образом, параметры функции равны: $a = 2$, $m = 1$, $n = 2$.
Ответ: $a=2, m=1, n=2$.

Запишите формулу функции y = f(x) в виде многочлена
Используя найденные значения коэффициентов, запишем функцию: $y = 2(x - 1)^2 + 2$.
Чтобы представить эту функцию в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
1. Возведем в квадрат выражение в скобках, используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$
2. Подставим результат в уравнение функции:
$y = 2(x^2 - 2x + 1) + 2$
3. Раскроем скобки, умножив каждый член многочлена $x^2 - 2x + 1$ на 2:
$y = 2x^2 - 4x + 2 + 2$
4. Приведём подобные слагаемые (сложим константы):
$y = 2x^2 - 4x + 4$
Это и есть искомая формула функции в виде многочлена.
Ответ: $y = 2x^2 - 4x + 4$.