Номер 10, страница 99 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. $ABCD$ — прямоугольник, точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, $MK \parallel AD$. Диагональ $BD$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$. $S_{BMP} = 4 \text{ см}^2$, $S_{PKD} = 9 \text{ см}^2$. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BMP$ и $\triangle DKP$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ — на стороне $CD$, то отрезки $BM$ и $DK$ также лежат на параллельных прямых, $BM \parallel DK$.

Диагональ $BD$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle MBP = \angle KDP$.

Углы $\angle BPM$ и $\angle DPK$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle BPM = \angle DPK$.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $\triangle BMP$ и $\triangle DKP$ подобны по двум углам (признак подобия АА).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ можно выразить через отношение соответствующих сторон:

$\frac{S_{BMP}}{S_{PKD}} = k^2 = \left(\frac{BP}{DP}\right)^2$

Подставим известные значения площадей $S_{BMP} = 4 \text{ см}^2$ и $S_{PKD} = 9 \text{ см}^2$:

$\frac{4}{9} = \left(\frac{BP}{DP}\right)^2$

Отсюда находим отношение отрезков, на которые точка $P$ делит диагональ $BD$:

$\frac{BP}{DP} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BPM$ и $\triangle BDA$.

По условию $MK \parallel AD$. Так как точка $P$ лежит на отрезке $MK$, то $PM \parallel AD$.

В прямоугольнике $ABCD$ угол $\angle BAD = 90^\circ$.

Поскольку $AD \parallel MK$ и $AB \perp AD$, то $AB \perp MK$. Следовательно, угол $\angle BMP = 90^\circ$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle BPM$ и $\triangle BDA$:

1. Угол $\angle B$ является общим.

2. $\angle BMP = \angle BAD = 90^\circ$.

Следовательно, треугольники $\triangle BPM$ и $\triangle BDA$ подобны по двум углам (признак подобия АА).

Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, который можно выразить через отношение сторон $BP$ и $BD$:

$\frac{S_{BPM}}{S_{BDA}} = \left(\frac{BP}{BD}\right)^2$

Мы знаем, что $\frac{BP}{DP} = \frac{2}{3}$. Пусть $BP = 2x$, тогда $DP = 3x$. Вся диагональ $BD = BP + DP = 2x + 3x = 5x$.

Тогда отношение $\frac{BP}{BD} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$.

Подставим это отношение и площадь $S_{BPM}$ в формулу:

$\frac{4}{S_{BDA}} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$

Отсюда находим площадь треугольника $\triangle BDA$:

$S_{BDA} = 25 \text{ см}^2$.

Диагональ $BD$ делит прямоугольник $ABCD$ на два равных по площади треугольника: $\triangle BDA$ и $\triangle BCD$.

Следовательно, площадь прямоугольника $ABCD$ вдвое больше площади треугольника $\triangle BDA$:

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{BDA} = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см}^2$.

Ответ: $50 \text{ см}^2$.