Номер 6, страница 98 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Упростите выражение

$\frac{5x+6}{x^2-4} - \frac{x}{x^2-4} : \frac{x}{x-2} - \frac{x+2}{x-2}$

Для упрощения данного выражения необходимо следовать порядку выполнения математических операций. В первую очередь выполняется деление, а затем вычитание.

Исходное выражение:

$$ \frac{5x + 6}{x^2 - 4} - \frac{x}{x^2 - 4} : \frac{x}{x - 2} - \frac{x + 2}{x - 2} $$

1. Выполнение деления

Сначала выполним операцию деления дробей:

$$ \frac{x}{x^2 - 4} : \frac{x}{x - 2} $$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$$ \frac{x}{x^2 - 4} \cdot \frac{x - 2}{x} $$

Знаменатель $x^2 - 4$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $$

Подставим разложенный знаменатель в выражение:

$$ \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x} $$

Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $x$ и $(x - 2)$. Это возможно при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne 2$, что соответствует области допустимых значений исходного выражения.

$$ \frac{\cancel{x}}{\cancel{(x - 2)}(x + 2)} \cdot \frac{\cancel{x - 2}}{\cancel{x}} = \frac{1}{x + 2} $$

2. Вычитание дробей

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$$ \frac{5x + 6}{x^2 - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} $$

Чтобы выполнить вычитание, приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей с знаменателями $x^2 - 4$, $x+2$ и $x-2$ является $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Приводим каждую дробь к общему знаменателю:

• Первая дробь $\frac{5x + 6}{x^2 - 4}$ уже имеет нужный знаменатель.
• Вторую дробь $\frac{1}{x + 2}$ домножим на $(x-2)$: $\frac{1 \cdot (x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{x^2-4}$.
• Третью дробь $\frac{x+2}{x-2}$ домножим на $(x+2)$: $\frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)^2}{x^2-4}$.

Теперь выполним вычитание, записав все под общим знаменателем:

$$ \frac{5x + 6}{x^2 - 4} - \frac{x-2}{x^2 - 4} - \frac{(x+2)^2}{x^2 - 4} = \frac{(5x + 6) - (x - 2) - (x + 2)^2}{x^2 - 4} $$

3. Упрощение числителя

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе. Для $(x+2)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$$ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 $$

Подставим и раскроем скобки в числителе:

$$ 5x + 6 - x + 2 - (x^2 + 4x + 4) $$

$$ 5x + 6 - x + 2 - x^2 - 4x - 4 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ (-x^2) + (5x - x - 4x) + (6 + 2 - 4) = -x^2 + 0 \cdot x + 4 = 4 - x^2 $$

4. Финальное упрощение

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$$ \frac{4 - x^2}{x^2 - 4} $$

Вынесем знак минус из числителя:

$$ \frac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 4} $$

Так как $x^2 - 4$ не может быть равно нулю (согласно ОДЗ), мы можем сократить эту дробь.

$$ -1 $$

Ответ: $-1$