Номер 3, страница 98 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) диагонали любого прямоугольника взаимно перпендикулярны;

б) высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности;

в) центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

г) угол, равный $89^\circ$, — острый?

а) диагонали любого прямоугольника взаимно перпендикулярны;

Это утверждение неверно. Диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны только в том случае, если этот прямоугольник является квадратом. В общем случае, для прямоугольника с неравными смежными сторонами, диагонали не пересекаются под прямым углом. Например, в прямоугольнике со сторонами 6 и 8, диагонали равны $\sqrt{6^2+8^2}=10$. Они образуют при пересечении равнобедренные треугольники со сторонами 5, 5, 6 и 5, 5, 8. Ни один из этих треугольников не является прямоугольным (так как $5^2+5^2 \neq 6^2$ и $5^2+5^2 \neq 8^2$), а значит, угол между диагоналями не равен $90°$. Таким образом, утверждение для любого прямоугольника является ложным.

б) высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности;

Это утверждение верно. Высота ромба — это расстояние между его противолежащими параллельными сторонами. Поскольку в ромб можно вписать окружность, его стороны являются касательными к этой окружности. Расстояние между двумя параллельными касательными к окружности всегда равно её диаметру. Следовательно, высота ромба $h$ равна диаметру $d$ вписанной окружности ($h = d = 2r$, где $r$ — радиус вписанной окружности).

в) центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

Это утверждение верно. Это фундаментальная теорема геометрии. Центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех трех вершин треугольника. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух вершин, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти вершины. Соответственно, точка, равноудаленная от всех трех вершин, является точкой пересечения трех серединных перпендикуляров.

г) угол, равный 89°, — острый?

Это утверждение верно. По определению, острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0°$ и меньше $90°$. Поскольку $0° < 89° < 90°$, данный угол является острым.

Ответ: а)