Номер 8, страница 97 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $10(x - y)$, где $(x; y)$ — решение системы уравнений

$\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = -x - 6y, \\ x + 2y = 1. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = -x - 6y \\ x + 2y = 1 \end{cases} $$

Заметим, что левая часть первого уравнения $x^2 + 4xy + 4y^2$ является полным квадратом. Это можно записать как $(x + 2y)^2$. Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:

$$(x + 2y)^2 = -x - 6y$$

Из второго уравнения системы известно, что $x + 2y = 1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$$(1)^2 = -x - 6y$$ $$1 = -x - 6y$$

Теперь мы получили новую систему, состоящую из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} -x - 6y = 1 \\ x + 2y = 1 \end{cases} $$

Сложим два уравнения этой системы методом алгебраического сложения, чтобы исключить переменную x:

$$(-x - 6y) + (x + 2y) = 1 + 1$$ $$-4y = 2$$ $$y = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Теперь найдем значение x, подставив найденное значение $y = -1/2$ во второе уравнение исходной системы $x + 2y = 1$:

$$x + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 1$$ $$x - 1 = 1$$ $$x = 2$$

Таким образом, решением системы являются значения $x = 2$ и $y = -1/2$.

Осталось найти значение выражения $10(x - y)$:

$$10\left(x - y\right) = 10\left(2 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 10\left(2 + \frac{1}{2}\right) = 10\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{50}{2} = 25$$

Ответ: 25