Номер 5, страница 98 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. В прямоугольном треугольнике $ABC$, $\angle B = 90^\circ$, $BC = 20$ см, высота $BH = 12$ см. Найдите синус угла $A$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором по условию $\angle B = 90^\circ$. Высота $BH$ проведена из вершины прямого угла к гипотенузе $AC$, следовательно, $BH$ перпендикулярна $AC$, и треугольник $BHC$ также является прямоугольным с прямым углом $\angle BHC = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$ нам известны длина гипотенузы $BC = 20$ см и длина катета $BH = 12$ см. Угол $C$ является общим для треугольников $ABC$ и $BHC$. Мы можем найти синус угла $C$ из треугольника $BHC$.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (отношение противолежащего катета к гипотенузе):
$\sin C = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC}$

Подставим известные значения:
$\sin C = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

В исходном прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов $A$ и $C$ равна $90^\circ$:
$\angle A + \angle C = 90^\circ$

Для углов, сумма которых равна $90^\circ$, выполняются следующие соотношения: $\sin A = \cos C$ и $\cos A = \sin C$. Нам нужно найти $\sin A$, следовательно, $\sin A = \cos C$.

Найдем $\cos C$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$.
$\cos^2 C = 1 - \sin^2 C$
Поскольку угол $C$ — острый угол прямоугольного треугольника, его косинус положителен.
$\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

Так как $\sin A = \cos C$, то:
$\sin A = \frac{4}{5} = 0.8$

Ответ: 0,8