Номер 9, страница 99 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Для перевозки партии щебня массой 1008 т фирма использует самосвал МАЗ-5551. По плану норма перевозки ежедневно должна увеличиваться на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 40 т щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 12 дней.

Поскольку норма перевозки щебня ежедневно увеличивалась на одно и то же число тонн, мы имеем дело с арифметической прогрессией. Количество тонн щебня, перевезенного в каждый из дней, составляет последовательность членов этой прогрессии.

Введем обозначения:

• $a_1$ — количество щебня, перевезенного в первый день. По условию, $a_1 = 40$ т.
• $n$ — общее количество дней работы. По условию, $n = 12$ дней.
• $S_n$ — общее количество щебня, перевезенного за $n$ дней. По условию, $S_{12} = 1008$ т.
• $d$ — ежедневное увеличение нормы перевозки (разность арифметической прогрессии).
• $a_9$ — количество щебня, перевезенное за девятый день, которое нам нужно найти.

Решение задачи можно разбить на два этапа.

1. Нахождение ежедневного увеличения нормы перевозки ($d$)

Для нахождения разности прогрессии $d$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим в формулу известные значения: $S_{12} = 1008$, $a_1 = 40$, $n = 12$.

$1008 = \frac{2 \cdot 40 + (12-1)d}{2} \cdot 12$

Упростим выражение:

$1008 = (80 + 11d) \cdot 6$

Разделим обе части уравнения на 6:

$168 = 80 + 11d$

Теперь выразим и найдем $d$:

$11d = 168 - 80$

$11d = 88$

$d = \frac{88}{11} = 8$

Таким образом, норма перевозки ежедневно увеличивалась на 8 тонн.

2. Нахождение количества щебня, перевезенного за девятый день ($a_9$)

Теперь, зная $a_1$ и $d$, мы можем найти любой член прогрессии по формуле $n$-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в эту формулу $n=9$, чтобы найти, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день:

$a_9 = 40 + (9-1) \cdot 8$

$a_9 = 40 + 8 \cdot 8$

$a_9 = 40 + 64$

$a_9 = 104$

Итак, за девятый день было перевезено 104 тонны щебня.

Ответ: 104.