Номер 3, страница 100 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) диагонали любого ромба равны между собой;

б) центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника;

в) гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из катетов;

г) угол, равный $91^\circ$, — тупой?

а) диагонали любого ромба равны между собой;

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба равны между собой только в частном случае, когда ромб является квадратом, то есть все его углы прямые. В общем же случае, для ромба, не являющегося квадратом, диагонали имеют разную длину. Пусть сторона ромба равна $a$. Длины диагоналей $d_1$ и $d_2$ можно найти по теореме косинусов. Если один из углов ромба равен $\alpha$, то смежный с ним угол равен $180^\circ - \alpha$. Тогда квадраты диагоналей равны $d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos(\alpha) = 2a^2(1-\cos(\alpha))$ и $d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2(1+\cos(\alpha))$. Диагонали будут равны ($d_1 = d_2$) только в том случае, если $1-\cos(\alpha) = 1+\cos(\alpha)$, что выполняется при $\cos(\alpha) = 0$, то есть при $\alpha=90^\circ$. Таким образом, утверждение неверно для любого ромба, который не является квадратом.

Ответ: неверно.

б) центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника;

Это утверждение является теоремой в геометрии. Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) — это точка, равноудаленная от всех трех сторон треугольника. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, точка, равноудаленная от всех трех сторон треугольника, должна лежать на пересечении всех трех биссектрис его углов. Таким образом, данное утверждение истинно.

Ответ: верно.

в) гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из катетов;

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, $c^2 = a^2 + b^2$. Так как длины сторон треугольника являются положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$), то их квадраты также положительны ($a^2 > 0$ и $b^2 > 0$). Отсюда следует, что $c^2 = a^2 + b^2 > a^2$, из чего, в свою очередь, следует, что $c > a$. Аналогично, $c^2 = a^2 + b^2 > b^2$, и, следовательно, $c > b$. Таким образом, гипотенуза всегда длиннее любого из двух катетов. Другое объяснение: в любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. В прямоугольном треугольнике самый большой угол — прямой ($90^\circ$), и напротив него лежит гипотенуза, которая, следовательно, является самой длинной стороной.

Ответ: верно.

г) угол, равный 91°, — тупой?

Согласно определению, тупой угол — это угол, градусная мера которого находится в интервале от $90^\circ$ до $180^\circ$. Угол в $91^\circ$ удовлетворяет этому условию, так как $90^\circ < 91^\circ < 180^\circ$. Следовательно, данное утверждение является истинным.

Ответ: верно.

Таким образом, единственное неверное утверждение из предложенных — это утверждение а).