Номер 6, страница 100 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Упростите выражение

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия в соответствии с их приоритетом: сначала деление, затем вычитание.

Выражение: $\frac{25-5n}{n^2-9} - \frac{n}{n^2-9} : \frac{n}{n+7} - \frac{n-3}{n+3}$

1. Первым действием выполним деление дробей:

$\frac{n}{n^2-9} : \frac{n}{n+7}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{n}{n^2-9} \cdot \frac{n+7}{n}$

Сокращаем общий множитель $n$ в числителе и знаменателе (при условии, что $n \ne 0$):

$\frac{\cancel{n}}{n^2-9} \cdot \frac{n+7}{\cancel{n}} = \frac{n+7}{n^2-9}$

2. Подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\frac{25-5n}{n^2-9} - \frac{n+7}{n^2-9} - \frac{n-3}{n+3}$

3. Теперь выполним вычитание первых двух дробей, так как у них одинаковый знаменатель $n^2-9$:

$\frac{(25-5n) - (n+7)}{n^2-9} - \frac{n-3}{n+3} = \frac{25-5n-n-7}{n^2-9} - \frac{n-3}{n+3} = \frac{18-6n}{n^2-9} - \frac{n-3}{n+3}$

4. Упростим полученную первую дробь. Для этого разложим ее числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $6$: $18-6n = 6(3-n) = -6(n-3)$. Знаменатель $n^2-9$ является разностью квадратов: $n^2-9 = (n-3)(n+3)$.

$\frac{18-6n}{n^2-9} = \frac{-6(n-3)}{(n-3)(n+3)}$

Сократим дробь на $(n-3)$ (при условии, что $n \ne 3$):

$\frac{-6\cancel{(n-3)}}{\cancel{(n-3)}(n+3)} = \frac{-6}{n+3}$

5. Подставим упрощенную дробь обратно в выражение:

$\frac{-6}{n+3} - \frac{n-3}{n+3}$

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $n+3$. Выполним вычитание:

$\frac{-6 - (n-3)}{n+3} = \frac{-6-n+3}{n+3} = \frac{-n-3}{n+3}$

6. В числителе вынесем $-1$ за скобки:

$\frac{-(n+3)}{n+3}$

Сократим дробь на $(n+3)$ (при условии, что $n \ne -3$):

$\frac{-\cancel{(n+3)}}{\cancel{(n+3)}} = -1$

Выражение упрощается до $-1$ при соблюдении области допустимых значений, а именно $n \ne 0, n \ne 3, n \ne -3, n \ne -7$.

Ответ: $-1$.