Номер 7, страница 103 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Определите, сколько общих точек у прямой $y = -5$ и графика функции $y = -5x^2 - x + 1$. В ответ запишите координаты точек пересечения.

Чтобы найти общие точки (точки пересечения) прямой $y = -5$ и графика функции $y = -5x^2 - x + 1$, нужно приравнять их правые части, так как в этих точках их координаты $y$ совпадают.

Получаем уравнение: $$-5 = -5x^2 - x + 1$$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $$5x^2 + x - 1 - 5 = 0$$ $$5x^2 + x - 6 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны $a=5$, $b=1$, $c=-6$. $$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 - (-120) = 1 + 120 = 121$$

Поскольку дискриминант $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что прямая и парабола пересекаются в двух точках.

Найдем значения этих корней, которые являются абсциссами (координатами $x$) точек пересечения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm 11}{10}$$

Вычисляем оба значения $x$: $$x_1 = \frac{-1 + 11}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$x_2 = \frac{-1 - 11}{10} = \frac{-12}{10} = -1,2$$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Ордината (координата $y$) для обеих точек нам уже известна из уравнения прямой: $y = -5$.

Таким образом, у прямой и графика функции есть две общие точки, и их координаты: $(1; -5)$ и $(-1,2; -5)$.

Ответ: $(1; -5)$ и $(-1,2; -5)$.