Номер 5, страница 104 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. $ABCD$ — параллелограмм, $DC = 12$ см. Биссектриса угла $B$ пересекает сторону $AD$ в точке $M$, $MD = 4$ см. Найдите периметр параллелограмма.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $DC = 12$ см, $BM$ — биссектриса угла $B$, $M \in AD$, $MD = 4$ см.

1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, $AB = DC$ и $BC \parallel AD$.
Поскольку $DC = 12$ см, то $AB = 12$ см.

2. Так как $BM$ — биссектриса угла $B$, она делит его на два равных угла: $\angle ABM = \angle MBC$.

3. Углы $\angle MBC$ и $\angle AMB$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BM$. Следовательно, эти углы равны: $\angle MBC = \angle AMB$.

4. Из равенств $\angle ABM = \angle MBC$ и $\angle MBC = \angle AMB$ следует, что $\angle ABM = \angle AMB$.

5. Поскольку в треугольнике $ABM$ два угла равны ($\angle ABM = \angle AMB$), он является равнобедренным с основанием $BM$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть $AM = AB$.
Так как $AB = 12$ см, то и $AM = 12$ см.

6. Сторона $AD$ состоит из отрезков $AM$ и $MD$. Найдем её длину: $AD = AM + MD = 12 \text{ см} + 4 \text{ см} = 16$ см.

7. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон. В нашем случае это $AB$ и $AD$.
$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (12 + 16) = 2 \cdot 28 = 56$ см.

Ответ: 56 см.