Номер 8, страница 95 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $6(x - y)$, где $(x; y)$ — решение системы уравнений

$\begin{cases} 3x + y = 2, \\ y^2 + 6xy + 9x^2 = -y - x. \end{cases}$

Для решения задачи необходимо сначала найти значения переменных $x$ и $y$ из предложенной системы уравнений.

Система уравнений имеет вид:

$$ \begin{cases} 3x + y = 2, \\ y^2 + 6xy + 9x^2 = -y - x. \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение. Заметим, что левая часть уравнения $y^2 + 6xy + 9x^2$ представляет собой полный квадрат суммы. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, мы можем свернуть это выражение:

$$y^2 + 6xy + 9x^2 = (y)^2 + 2 \cdot y \cdot (3x) + (3x)^2 = (y + 3x)^2$$

Теперь второе уравнение системы можно переписать в виде:

$$(y + 3x)^2 = -y - x$$

Из первого уравнения системы известно, что $3x + y = 2$. Подставим это значение в левую часть преобразованного второго уравнения:

$$(2)^2 = -y - x$$

$$4 = -y - x$$

Умножим обе части полученного уравнения на -1:

$$-4 = y + x$$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + y = 2, \\ x + y = -4. \end{cases} $$

Для нахождения $x$ вычтем второе уравнение из первого:

$$(3x + y) - (x + y) = 2 - (-4)$$

$$3x - x + y - y = 6$$

$$2x = 6$$

$$x = 3$$

Подставим найденное значение $x=3$ в уравнение $x + y = -4$, чтобы найти $y$:

$$3 + y = -4$$

$$y = -4 - 3$$

$$y = -7$$

Итак, решение системы уравнений: $x = 3$ и $y = -7$.

Теперь найдем значение выражения $6(x - y)$, подставив в него найденные значения переменных:

$$6(x - y) = 6(3 - (-7)) = 6(3 + 7) = 6 \cdot 10 = 60$$

Ответ: 60