Номер 10, страница 93 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В компанию, которая занимается строительными работами, поступил заказ на укладку $175 \text{ м}^2$ напольной плитки. Прежде чем приступить к работам, плиточник изучил помещение и принял решение, что можно укладывать на $10 \text{ м}^2$ в день больше, чем запланировал ранее. В результате работа была закончена на 2 дня раньше установленного срока. Успеет ли плиточник выполнить заказ за 7 рабочих дней, если будет работать, как запланировал? Ответ обоснуйте.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ м²/день — это запланированная производительность плиточника.

Тогда его фактическая производительность, после того как он изучил помещение, составила $(x+10)$ м²/день.

Общий объем работ составляет 175 м².

Время, которое плиточник планировал потратить на работу, равно $t_{план} = \frac{175}{x}$ дней.

Фактически затраченное время равно $t_{факт} = \frac{175}{x+10}$ дней.

Из условия известно, что работа была закончена на 2 дня раньше установленного срока. Это означает, что разница между плановым и фактическим временем составляет 2 дня. Составим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = 2$

$\frac{175}{x} - \frac{175}{x+10} = 2$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{175(x+10) - 175x}{x(x+10)} = 2$

$\frac{175x + 1750 - 175x}{x^2 + 10x} = 2$

$\frac{1750}{x^2 + 10x} = 2$

$1750 = 2(x^2 + 10x)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$875 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 875 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-875) = 100 + 3500 = 3600$

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 60}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 60}{2} = \frac{-70}{2} = -35$

Поскольку производительность ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -35$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, запланированная производительность плиточника составляла 25 м² в день.

Теперь ответим на главный вопрос задачи: успеет ли плиточник выполнить заказ за 7 рабочих дней, если будет работать, как запланировал?

Для этого найдем время, которое потребовалось бы для выполнения всего заказа с запланированной производительностью:

Время = $\frac{\text{Общий объем работ}}{\text{Запланированная производительность}} = \frac{175}{25} = 7$ дней.

Расчет показывает, что при запланированной производительности плиточник выполнит работу ровно за 7 дней. Таким образом, он успеет выполнить заказ в указанный срок.

Ответ: да, успеет. Плиточник планировал укладывать по 25 м² плитки в день. Чтобы уложить 175 м², ему потребуется $\frac{175}{25} = 7$ дней, что соответствует заданному сроку.