Номер 9, страница 93 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите площадь описанной равнобедренной трапеции, если точка касания вписанной в нее окружности делит боковую сторону на отрезки, равные 2 см и 8 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона по условию делится точкой касания на отрезки $x=8$ см и $y=2$ см.

1. Нахождение длины боковой стороны и суммы оснований

Длина боковой стороны $c$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка касания:
$c = x + y = 8 + 2 = 10$ см.
Поскольку трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны.
Согласно свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противолежащих сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма длин оснований ($a+b$) равна сумме длин боковых сторон:
$a + b = c + c = 10 + 10 = 20$ см.

2. Нахождение высоты трапеции

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h=2r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
Для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, существует свойство, по которому радиус вписанной окружности является средним геометрическим отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону:
$r = \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$ см.
Следовательно, высота трапеции равна:
$h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

3. Вычисление площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
Мы уже нашли сумму оснований $a+b = 20$ см и высоту $h = 8$ см. Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см$^2$.

Ответ: $80$ см$^2$.