Номер 10, страница 91 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В компанию, которая занимается строительными работами, поступил заказ на укладку $240 м^2$ напольной плитки. Прежде чем приступить к работам, плиточник изучил помещение и принял решение, что можно укладывать на $10 м^2$ в день больше, чем запланировал ранее. В результате работа была закончена на 4 дня раньше установленного срока. Успеет ли плиточник выполнить заказ за 10 рабочих дней, если будет работать, как запланировал? Ответ обоснуйте.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ м²/день — это первоначально запланированная скорость работы плиточника. Тогда, согласно условию, его фактическая скорость работы составила $(x + 10)$ м²/день.

Общий объем работ составляет 240 м². Время, которое плиточник планировал потратить на работу, равно $\frac{240}{x}$ дней. Фактически затраченное время составило $\frac{240}{x+10}$ дней.

Из условия известно, что работа была выполнена на 4 дня раньше запланированного срока. На основе этих данных можно составить уравнение:

$\frac{240}{x} - \frac{240}{x+10} = 4$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{240(x+10) - 240x}{x(x+10)} = 4$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{240x + 2400 - 240x}{x^2 + 10x} = 4$

$\frac{2400}{x^2 + 10x} = 4$

Умножим обе части уравнения на $x^2 + 10x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$, что верно, так как $x$ — это производительность):

$2400 = 4(x^2 + 10x)$

Разделим обе части на 4:

$600 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 600 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 100 + 2400 = 2500$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 50}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку производительность не может быть отрицательной, единственным подходящим решением является $x = 20$. Таким образом, запланированная производительность плиточника составляла 20 м²/день.

Теперь ответим на главный вопрос задачи: успеет ли плиточник выполнить заказ за 10 рабочих дней, если будет работать, как запланировал? Для этого рассчитаем, сколько дней ему потребовалось бы при плановой производительности 20 м²/день:

Время = $\frac{Объем работ}{Производительность} = \frac{240}{20} = 12$ дней.

Сравниваем полученное время с заданным сроком: 12 дней больше, чем 10 дней.

Ответ: нет, не успеет. Если плиточник будет работать с запланированной скоростью (20 м²/день), ему потребуется 12 дней, что больше 10 дней.