Номер 9, страница 91 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите площадь описанной равнобедренной трапеции, если точка касания вписанной в нее окружности делит боковую сторону на отрезки, равные 4 см и 9 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция, описанная около окружности. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а равные боковые стороны как $c$. По условию, точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 9 см.

Длина боковой стороны $c$ равна сумме длин этих отрезков: $c = 4 + 9 = 13$ см.

Для любого описанного четырехугольника (в который можно вписать окружность) суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей равнобедренной трапеции это свойство записывается как $a + b = c + c = 2c$. Зная длину боковой стороны, находим сумму оснований: $a + b = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ — радиус окружности. Чтобы найти радиус, воспользуемся следующим свойством. Рассмотрим треугольник, образованный центром вписанной окружности $O$ и концами боковой стороны, например, $C$ и $D$. Треугольник $COD$ является прямоугольным. Это следует из того, что отрезки $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов трапеции $\angle BCD$ и $\angle ADC$, прилежащих к боковой стороне, а сумма этих углов равна $180^\circ$. Следовательно, сумма углов $\angle OCD$ и $\angle ODC$ в треугольнике равна $\frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$, а значит, третий угол $\angle COD = 90^\circ$.

Радиус, проведенный из центра окружности к точке касания на боковой стороне, перпендикулярен этой стороне. Таким образом, этот радиус $r$ является высотой прямоугольного треугольника $COD$, опущенной на гипотенузу $CD$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, её квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. В нашем случае гипотенуза $CD$ делится на отрезки 4 см и 9 см. $r^2 = 4 \cdot 9 = 36$ см$^2$.

Отсюда находим радиус: $r = \sqrt{36} = 6$ см.

Тогда высота трапеции $h$ равна диаметру: $h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Подставляя найденные значения суммы оснований и высоты, получаем: $S = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ см$^2$.

Ответ: 156 см$^2$.