Номер 7, страница 89 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите значение выражения $\left(\frac{7}{3-\sqrt{2}}\right)^2 - \left(\frac{3-4\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}\right)^2$.

В ответ запишите число, противоположное найденному.

Для того чтобы найти значение выражения, мы упростим каждый член по отдельности, а затем найдем их разность.

Первый член выражения: $ \left(\frac{7}{3-\sqrt{2}}\right)^2 $.

Сначала упростим основание степени, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $3+\sqrt{2}$:

$ \frac{7}{3-\sqrt{2}} = \frac{7 \cdot (3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2}) \cdot (3+\sqrt{2})} $

Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к знаменателю, получаем:

$ \frac{7(3+\sqrt{2})}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{7} = 3+\sqrt{2} $

Теперь возведем полученное выражение в квадрат:

$ (3+\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2} $

Второй член выражения: $ \left(\frac{3-4\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}\right)^2 $.

Упростим основание степени $ \frac{3-4\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} $. Заметим, что числитель можно разложить на множители, вынеся за скобки $ -\sqrt{3} $:

$ 3-4\sqrt{3} = -\sqrt{3} \cdot (4-\sqrt{3}) $

Подставим это разложение в дробь:

$ \frac{-\sqrt{3}(4-\sqrt{3})}{4-\sqrt{3}} = -\sqrt{3} $

Теперь возведем полученное выражение в квадрат:

$ (-\sqrt{3})^2 = 3 $

Наконец, найдем значение исходного выражения, вычтя значение второго члена из значения первого:

$ (11 + 6\sqrt{2}) - 3 = 8 + 6\sqrt{2} $

По условию задачи, в ответ требуется записать число, противоположное найденному. Противоположным числу $8 + 6\sqrt{2}$ является число $-(8 + 6\sqrt{2})$, то есть $-8 - 6\sqrt{2}$.

Ответ: $-8 - 6\sqrt{2}$