Номер 10, страница 87 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Решите уравнение $x(x - 1)(x - 3)(x - 4) = 40$. В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| < 5$.

Исходное уравнение: $x(x-1)(x-3)(x-4) = 40$.

Для решения этого уравнения сгруппируем множители. Заметим, что сумма свободных членов в парах $(x-0), (x-4)$ и $(x-1), (x-3)$ одинакова: $0 + (-4) = -4$ и $-1 + (-3) = -4$. Перегруппируем множители и перемножим их в парах:

$[x(x-4)] \cdot [(x-1)(x-3)] = 40$

$(x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 3) = 40$

Теперь можно ввести замену переменной для упрощения уравнения. Пусть $t = x^2 - 4x$. Тогда уравнение примет вид:

$t(t+3) = 40$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 3t - 40 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1$ и $t_2$ должны удовлетворять условиям $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = -40$. Подбором находим корни:

$t_1 = 5$, $t_2 = -8$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Случай 1: $t = 5$

$x^2 - 4x = 5$

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Отсюда получаем корни:

$x_1 = 5$, $x_2 = -1$

Случай 2: $t = -8$

$x^2 - 4x = -8$

$x^2 - 4x + 8 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$

Так как дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Итак, мы нашли два действительных корня исходного уравнения: $x=5$ и $x=-1$.

По условию задачи, необходимо указать только те корни, которые удовлетворяют неравенству $|x| < 5$. Данное неравенство равносильно двойному неравенству $-5 < x < 5$.

Проверим каждый корень:

- Для $x=5$: $|5| = 5$. Неравенство $|5| < 5$ неверно, так как $5$ не меньше $5$.

- Для $x=-1$: $|-1| = 1$. Неравенство $1 < 5$ верно.

Следовательно, только один корень удовлетворяет заданному условию.

Ответ: -1.