Номер 9, страница 87 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной окружности — 2 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть a и b — катеты прямоугольного треугольника, а c — его гипотенуза. По условию, гипотенуза $c = 10$ см. Пусть r — радиус вписанной окружности, по условию $r = 2$ см. Задача — найти площадь треугольника S.

Для решения воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: $r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставив известные значения, мы можем найти сумму длин катетов $a + b$: $2 = \frac{a + b - 10}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2: $4 = a + b - 10$

Отсюда получаем: $a + b = 4 + 10 = 14$ см.

Теперь, когда мы знаем сумму катетов, мы можем найти площадь треугольника. Один из способов — использовать общую формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$, где p — полупериметр.

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон: $p = \frac{a + b + c}{2}$

Подставим известные нам значения $a+b=14$ и $c=10$: $p = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь вычисляем площадь: $S = p \cdot r = 12 \cdot 2 = 24$ см².

Можно проверить результат и другим способом. Площадь прямоугольного треугольника также равна половине произведения его катетов: $S = \frac{a \cdot b}{2}$. Мы знаем, что $a + b = 14$. Также по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100$.

Возведем в квадрат сумму катетов: $(a+b)^2 = 14^2$, что равносильно $a^2 + 2ab + b^2 = 196$.

Заменив в этом выражении $a^2+b^2$ на 100, получаем: $100 + 2ab = 196$ $2ab = 96$ $ab = 48$.

Следовательно, площадь равна: $S = \frac{ab}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см².

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 24 см².