Номер 7, страница 87 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите значение выражения $\left(\frac{4}{3-\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\frac{6-5\sqrt{6}}{5-\sqrt{6}}\right)^2$.

В ответ запишите число, противоположное найденному.

Для того чтобы найти значение данного выражения, мы упростим каждый член (уменьшаемое и вычитаемое) по отдельности.

1. Упрощение первого члена: $ \left(\frac{4}{3-\sqrt{5}}\right)^2 $

Сначала преобразуем дробь, находящуюся в скобках. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ (3+\sqrt{5}) $.

$ \frac{4}{3-\sqrt{5}} = \frac{4 \cdot (3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5}) \cdot (3+\sqrt{5})} $

В знаменателе применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $:

$ (3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4 $

Подставим полученное значение знаменателя обратно в дробь:

$ \frac{4(3+\sqrt{5})}{4} = 3+\sqrt{5} $

Теперь возведем результат в квадрат, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:

$ (3+\sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5} $

Итак, значение первого члена равно $ 14 + 6\sqrt{5} $.

2. Упрощение второго члена: $ \left(\frac{6-5\sqrt{6}}{5-\sqrt{6}}\right)^2 $

Сначала преобразуем дробь в скобках. Для этого разложим числитель на множители. Вынесем $ \sqrt{6} $ за скобки:

$ 6 - 5\sqrt{6} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} - 5\sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{6}-5) $

Заметим, что выражение в скобках $ (\sqrt{6}-5) $ отличается от знаменателя $ (5-\sqrt{6}) $ только знаком, то есть $ \sqrt{6}-5 = -(5-\sqrt{6}) $.

Подставим это в дробь:

$ \frac{\sqrt{6}(\sqrt{6}-5)}{5-\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} \cdot (-(5-\sqrt{6}))}{5-\sqrt{6}} = -\sqrt{6} $

Теперь возведем полученное выражение в квадрат:

$ (-\sqrt{6})^2 = 6 $

Итак, значение второго члена равно 6.

3. Вычисление значения всего выражения

Теперь вычтем значение второго члена из значения первого:

$ (14 + 6\sqrt{5}) - 6 = 14 - 6 + 6\sqrt{5} = 8 + 6\sqrt{5} $

Таким образом, значение исходного выражения равно $ 8 + 6\sqrt{5} $.

4. Нахождение противоположного числа

По условию задачи, в ответ необходимо записать число, противоположное найденному. Число, противоположное $ 8 + 6\sqrt{5} $, это $ -(8 + 6\sqrt{5}) $.

$ -(8 + 6\sqrt{5}) = -8 - 6\sqrt{5} $

Ответ: $ -8 - 6\sqrt{5} $